Exercício probabilidades 12º matemática A com resolução e explicação

Probabilidades: Aniversário no mesmo dia 

  Numa turma de 30 alunos, qual é a probabilidade de haver alunos que  façam  anos na mesma data? Intuitivamente parece ser mais ou menos de 50%?

Resolução  

  Intuitivamente, e atendendo a que um ano tem 365 dias, parece (pelo menos a mim) que a probabilidade de haver alunos que façam anos na mesma data  é inferior a 50%. No entanto a intuição nem sempre é boa conselheira, casos há em que a intuição revela-se desastrosa e muito má conselheira.

  Este problema conduz-nos a um resultado surpreendente. 

Para o resolver vamos calcular a probabilidade de nenhum dos alunos fazer anos na mesma data.

Número de casos favoráveis:  

Suponhamos que começamos por perguntar ao nº1 a sua data de nascimento. Ele terá que indicar um dos 365 dias do ano. O aluno nº2  pode ter como data qualquer um dos outros 364 dias, o aluno nº3 pode ter como data de aniversário qualquer um dos outros 363 dias e assim sucessivamente. 

Então, o número de casos favoráveis  a  não haver alunos com a mesma data de aniversário é:  365 x 364 x 363 x 362 x  ...  x 336 

Número de casos possíveis:

Cada um dos alunos pode fazer anos em qualquer um dos 365 dias do ano. Então, o número de casos possíveis é: 

Cálculo da probabilidade de nenhum aluno fazer anos na mesma data 

Cálculo da probabilidade de pelo menos dois dos alunos fazerem anos na mesma data

  Os acontecimentos "nenhum aluno faz anos na mesma data" e "pelo menos dois dos alunos fazem anos na mesma data" são contrários, isto é, a soma das suas probabilidades é igual a 1.

Então,

 Probabilidade de pelo menos dois fazerem anos na mesma data = 1-0,293684=

  = 0,706316 = 70,6316%  Bem acima dos 50%!!!!

Generalização do problema

  Atendendo ao caso particular acima analisado, vamos determinar a probabilidade de haver alunos com a mesma data de aniversário numa turma de n alunos.

  Pela análise do caso particular facilmente concluímos  que a probabilidade de haver alunos com a mesma data de aniversário é dada pela expressão:

  No gráfico seguinte temos a probabilidade de haver pessoas com a mesma data de aniversário em função do número de pessoas do grupo.

  Como se pode observar, num grupo de 23 pessoas, a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem anos na mesma data é superior a 50%! Num grupo de 60 pessoas a probabilidade ultrapassa os 99%!